DE BEPERKTE OPLOSMETHODE VAN W.H.A. SCHILDERS

J. de Ruiter
Juli 2020

Een aantal jaren geleden verscheen het boek Los elke sudoku op (later in 3 delen) van W.H.A. Schilders met daarin de beschrijving van een methode waarmee elke sudoku, hoe lastig ook, via logische redenering opgelost zou kunnen worden.
Met flink wat publiciteit in de media. Dit boek heb ik als sterk geïnteresseerde natuurlijk volledig bestudeerd, omdat ik nieuwsgierig was of er betere alternatieven of bruikbare aanvullingen bij mijn aanpak waren.
Hier de volledige bespreking van deze aanpak en de conclusies.

 

Verwijzing:

Het boek van W.H.A. Schilders, in 2020 in drie delen verschenen:
     - Los elke sudoku op – Sudoku oplossen in 9 stappen
     - Medium sudoku’s oplossen – Oplossen van sudoku’s met 6-9 sterren / stippen
     - Moeilijke sudoku’s oplossen – Oefenmateriaal met uitleg voor lastige sudoku’s

1^e deel: Sudoku oplossen in 9 stappen.

De eerste 8 stappen betreffen elementaire stappen die vrij algemeen bekend zijn. Tevens wordt gewezen op de bruikbaarheid van een kruis (of X-wing) indien aanwezig en herkend door de puzzelaar. Echt interessant wordt het pas als stap 9 wordt behandeld. Een laatste redmiddel, schrijft de auteur.
Dit houdt in: een getallenpaar kiezen; als het ene getal tot een tegenspraak leidt, dan moet het andere getal dus juist zijn. Eventueel kan men alle getallenparen afgaan. Deze aanpak wordt wel de draad van Ariadne genoemd en wordt vaak bij kampioenschappen gebruikt. Dit kan een omslachtig karwei worden, merkt de auteur op. Een voorbeeld hiervan wordt op blz. 135 gegeven. Helaas is dit een niet al te moeilijke sudoku. Van het getallenpaar 26 linksboven is al bijna direct te zien dat de 2 een tegenspraak oplevert en dus is de 6 juist. De sudoku is daarna eenvoudigweg verder geheel in te vullen.
De omslachtigheid van de draad van Ariadne (die er wel degelijk is) is dus niet uit dit voorbeeld gebleken.
De auteur geeft tenslotte nog een alternatief voor stap 9.
Een alternatief voor het laatste redmiddel
Kies een geschikt getallenpaar en werk beide getallen van dit paar wat verder uit. Dan kan het zijn dat deze twee uitwerkingen tot gelijke invulling van een of meer nog lege velden leiden. Deze invullingen zijn dan dus juist en dus is de oplossing van de sudoku dan wat verder opgeschoten.
Dit lijkt misschien een krachtig hulpmiddel. Maar de sudoku op blz. 135 is helaas geen goed voorbeeld, want na één keer toepassen van dit alternatief is de oplossing al bereikt!
Daarom is het interessant om het derde deel van zijn boek erbij te pakken om te zien hoe ver de reikwijdte van dit alternatief strekt.

3^e deel: Oefenmateriaal met uitleg voor lastige sudoku’s.

Het 3^e deel bevat in totaal 43 sudoku’s waarvan 31 met een toelichting bij de oplossing.

Puzzel 1 t/m 24: 24 sudoku’s met volledige uitleg

Puzzel 1: 2 getallenparen gebruikt.
Puzzel 2: 3 getallenparen gebruikt.
Opmerking: als de auteur van het 1^e getallenpaar beide cijfers had doorgerekend, dan had hij gezien dat het ene cijfer tot een tegenspraak had geleid en het andere cijfer tot de volledige invulling. Dus klaar na 1 getallenpaar.
Puzzel 3: het 1^e getallenpaar doorrekenen was ook hier succesvol geweest.
Puzzel 4: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: volgens mij bevat de uitwerking echter een foutje.
Puzzel 5: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: ook hier zou doorrekenen effectief zijn geweest.
Puzzel 6: 1 getallenpaar gebruikt.
Puzzel 7: 3 getallenparen gebruikt.
Puzzel 8: 1 getallenpaar gebruikt. Zwaardvis niet nodig, concludeert de auteur terecht.
Puzzel 9: 1 getallenpaar gebruikt. Zwaardvis niet nodig.
Opmerking: getallenpaar 45 in V8 blijkt ook snel te werken.
Puzzel 10: 1 getallenpaar gebruikt. Zwaardvis niet nodig.
Puzzel 11: 2 getallenparen gebruikt.
Opmerking: het kan met alleen het getallenpaar 15 in V7.
Puzzel 12: 2 getallenparen gebruikt. Geen XY-wing nodig. Terechte conclusie.
Puzzel 13: 1 getallenpaar gebruikt. Geen patronen nodig.
Opmerking: getallenpaar 25 in V6 werkt zeer snel.
Puzzel 14: geen getallenpaar gebruikt, dus een simpele sudoku.
Puzzel 15: ook geen getallenpaar gebruikt.
Puzzel 16: idem.
Puzzel 17: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: het kan zelfs zonder een getallenpaar te gebruiken. De 3 velden linksboven bevatten de cijfers 2, 3 en 9. Dan moet 8 in (R3,K1) staan. De sudoku is dan rechtstreeks oplosbaar.
Puzzel 18: kruis plus 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: kruis niet nodig.
Puzzel 19: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking; 13 in V9 was een comfortabeler keuze geweest.
Puzzel 20: 1 getallenpaar gebruikt.
Puzzel 21: 2 getallenparen gebruikt.
Opmerking: er zijn wel meer oplossingspaden mogelijk, maar langere. Dit is een duidelijk voorbeeld van een lastiger sudoku, want het is moeilijker om geschikte getallenparen te vinden.
Puzzel 22: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: deze sudoku is een 13 sterren sudoku uit Denksport cum laude, maar tegen de verwachting in niet extreem moeilijk.
Puzzel 23: 2 getallenparen gebruikt.
Opmerking: de cijfers 7, 4, 3 en 5 in de 8^e rij moeten in de 2^e kolom. Probeer hiermee zelf eens verder te komen.
Puzzel 24: 4 getallenparen gebruikt.
Opmerking: hier zijn best heel wat getallenparen als startpunt mogelijk. Dus de magerheid valt best mee. Ik kan een pad aanwijzen waarvoor maar 3 getallenparen gebruikt hoeven te worden. Voor een 14 sterren sudoku valt de moeilijkheidsgraad eigenlijk best mee.

(In het tijdschrift Denksport sudoku 12 – 13* cum laude komen sudoku’s voor waarvan de oplossing meer dan 6 getallenparen gebruikt.

5 oefenpuzzels met korte uitleg

Oefenpuzzel blz. 106: 1 getallenpaar gebruikt. Probleemloos.
Oefenpuzzel blz. 108: 1 getallenpaar gebruikt, na bijna volledige invulling. Simpel.
Oefenpuzzel blz. 110: 1 getallenpaar gebruikt (van een tripel). Eenvoudig.
Oefenpuzzel blz. 112: 1 getallenpaar gebruikt.
Opmerking: de auteur gebruikt het getallenpaar 26 in V6 en laat zien dat keuze 2 tot een volledige oplossing leidt. Hier hoort dan eigenlijk ook bij dat ook aangetoond wordt dat keuze 6 niet kan d.w.z. tot een tegenspraak leidt. Maar keuze 6 leidt al snel tot een punt dat we niet verder kunnen. Wat nu? Mogelijkheid 1: vul keuze 6 in, werk deze keuze verder uit en kies dan een getallenpaar met de hoop dat beide keuzes tot een tegenspraak leiden. Mogelijkheid 2: neem niet 26 maar een ander getallenpaar als startpunt in de hoop dat dit startpunt tot betere uitkomsten leidt.
Oefenpuzzel blz. 114: 1 getallenpaar gebruikt. Eenvoudig. 

De sudoku van Arto Inkala (een van de moeilijkste sudoku’s ter wereld)

In 2012 gepubliceerd als een van de allermoeilijkste sudoku’s ter wereld. Een eerste invulling levert geen enkel cijfer op en slechts één getallenpaar, nl. 39 in (R8,K7).
De auteur gaat uiteraard deze uitdaging aan en vindt na de nodige inspanning het volgende resultaat, uitgaande vanuit het startpunt 39:
De keuze voor 3 leidt tot een tegenspraak. Het is dus 9.
Na invulling van 9 wordt het getallenpaar 35 in (R7,K7) gekozen.
De keuze voor 5 wordt nu genegeerd.
Na de keuze voor 3 wordt het getallenpaar 27 in (R7,K5) gekozen.
2 leidt tot een tegenspraak.
Na invulling van 7 wordt het getallenpaar 24 in (R7,K2) gekozen.
De keuze voor 4 wordt genegeerd.
De keuze voor 2 leidt tot de invulling op blz. 122.
Nu wordt het getallenpaar 29 in (R1,K3) gekozen.
De keuze voor 2 leidt nu tot een oplossing.
De keuze voor 9 wordt weer genegeerd.

Na deze onvolledige redenering meldt de auteur vervolgens opgewekt dat de moeilijkste sudoku ter wereld nu is opgelost en dat dit bewijst hoe krachtig de methode is! De hier gevolgde redenering kan echter nog geen oplossing genoemd worden! Met een oplossingsmethode bedoelen we dat we op grond van logische redenering concluderen welke invullingen in een nog leeg veld toelaatbaar zijn en welke niet. In de “oplossing” van Schilders worden echter tot drie keer toe wel aanwezige mogelijkheden gewoon genegeerd en niet onderzocht.

Een nog moeilijker sudoku

Afkomstig van Veit Elser, Comeli University, New York.
De auteur stelt hier een aanpak voor, niet erg duidelijk geformuleerd, die kan leiden tot een drietal sudoku’s die net als de sudoku van Arto Inkala kunnen worden bestudeerd. Naar verwachting zullen dan twee van de drie keuzes tot een tegenspraak leiden en de andere tot een oplossing.
Hier vraag ik mij wel af in hoeverre deze optie ook bruikbaar  is.
Als deze sudoku nog moeilijker is dan de beruchte sudoku van Arto Inkala, dan ligt het eerder voor de hand de sudoku op te splitsen in 4 of nog meer sudoku's. Getallenparen lijken niet te vinden, maar er zijn direct al 5 andersoortige paren van twee mogelijkheden aan te wijzen.
Tot slot van deze pagina zullen we zien waar deze aanpak toe leidt.

12 extra sudoku’s om te oefenen

Betrekkelijk eenvoudig met 1 getallenpaar op te lossen: alle 6 sudoku’s op blz. 132, 134 en 136.
Moeilijker, met 2 getallenparen op te lossen: blz. 130 boven en blz. 140.
Nog moeilijker, met 3 getallenparen op te lossen: blz. 138 onder.
Dan resteren nog twee moeilijke sudoku’s.

Blz. 130 onder:
Kies na de initiële invulling eerst paar 67 in V5; cijfer 6 leidt dan in combinatie met paar 13 in  V8 beide keren tot een tegenspraak. Vul dus cijfer 7 in.
Kies dan paar 26 in V4; cijfer 2 leidt dan in combinatie met paar 13 in V8 beide keren snel tot een tegenspraak. Vul dus cijfer 6 in.
Kies tenslotte paar 13 in V9; keuze 1 gaat snel mis, keuze 3 voert naar een oplossing.
Deze sudoku is moeilijk omdat getallenparen tot het tweede niveau moeten worden gebruikt.

Blz. 138 boven:
Extreem moeilijk Ik had 7 paren nodig (maar misschien kan het ook korter).

Conclusies

In totaal staan er 43 sudoku’s in deel 3. Van de eerste 29 sudoku’s zijn slechts een paar wat lastiger. Van de laatste 12 sudoku’s (de extra oefensudoku’s zonder toelichting) zijn hooguit een paar echt moeilijk.
Het aantal echt moeilijke voorbeelden is dus beperkt.
Dat neemt niet weg dat dit driedelige boek veel sudokuliefhebbers een stuk verder kan helpen. Bruikbare informatie over logische oplossingstechnieken kom je op internet bijna niet tegen. Wel moet de lezer bij de delen 1 en 3 veel omslachtige uitleg verduren, genoegen nemen met een aantal tekortkomingen en moeite hebben om de geschetste aanpak kort samen te vatten.

Conclusie 1
Het door de auteur aangegeven alternatief voor stap 9 werkt bij grotere moeilijkheidsgraad bijna nooit, zoals ik heb kunnen ervaren. Toen ik jaren geleden het punt had bereikt dat de sudoku’s zoals ik die net als iedereen tegenkwam geen uitdaging meer boden,stuitte ik toevallig in Duitsland op het scheurblok Sudoku (Bassermann Rätsel) van Eberhard Krüger, overal verkrijgbaar. Deze bevat elke keer 200 sudoku’s, in 4 moeilijkheidsgraden:
Cleveres IQ-Training, Ganz schön raffiniert, Die harte Nuss en Die echte Herausforderung.
De laatste moeilijkheidsgraad bleek voor mij niet direct te doen. Na veel geprobeer ontdekte ik uiteindelijk dat er getallenparen waren waarbij beide getallen in bepaalde lege velden tot dezelfde uitkomst leiden. Dat was dan voldoende om de sudoku geheel in te vullen. Dit lukte altijd bij elk nieuw scheurblok.
Mijn conclusie was toen dus: met deze techniek (dus het alternatief voor stap 9) los je elke moeilijke sudoku op.
Tot ik een tijdschrift in Duitsland tegenkwam waar dat helemaal niet meer lukte: SUDOKU extrem bis hardcore, uitgegeven door Stefan Heine. Een autoriteit op het gebied van extreem moeilijke sudoku’s.
Vervolgens een paar jaar erover gedaan om de aanpak te ontwikkelen die u op deze site kunt zien.
Uitgetest door alle sudoku’s op te lossen van 2 exemplaren van dit tijdschrift, en van meerdere exemplaren van de tijdschriften
Denksport SUDOKU 12-13* cum laude en SUDOKU 14-15* Summit. Dit lukte zonder uitzondering!
Wat ik gehoopt en verwacht had was dat mijn aanpak ook zou werken voor de sudoku van Arto Inkala.
Na uitsplitsing in 8 sudoku’s lukte dit ook, na ruim een middag werk!
Mijn definitieve conclusie is dan ook dat stap 9 (de draad van Ariadne) een goede aanpak is.

Conclusie 2
De draad van Ariadne is dus volgens mij de aanpak die tot een oplossing leidt van de meeste zeer moeilijke sudoku’s.
In de de aanpak van Schilders ontbreken twee belangrijke zaken:
1)
Niet alleen getallenparen zijn belangrijk, maar ook andere paren van twee mogelijkheden moeten soms bekeken worden. De essentie is dat we twee elkaar uitsluitende mogelijkheden zoeken, want daar kunnen we wat mee. Als de ene kandidaat van zo’n paar tot een tegenspraak leidt, dan is de andere kandidaat dus juist. Bovendien: waarschijnlijk gaat het onderzoeken van een onjuiste kandidaat sneller kan dan het onderzoeken van een juiste kandidaat. Een tegenspraak kan vaak sneller bereikt worden dan de volledige oplossing.
2)
Bij extreem moeilijke sudoku’s kan het nodig zijn dat de sudoku eerst opgesplitst moet worden in meer sudoku’s. Deze kunnen dan beide volgens de hier aanbevolen methode aangepakt worden.
Bij de sudoku van Arto Inkala hebben we dit gezien.

Opmerkingen
De auteur spreekt soms van een oplossing, maar daarvoor is dan nog niet aan alle voorwaarden voldaan. Van elk gevonden veld moet beredeneerd worden dat andere invullingen van dat veld onjuist zijn. Bij kampioenschappen e.d. gaat het er waarschijnlijk alleen maar om dat men een invulling van de sudoku vindt die juist is.
En, meer algemeen kan worden opgemerkt dat de auteur voor een groot deel niet al te moeilijke sudoku’s kiest. Het risico is dan dat conclusies worden getrokken die voor duidelijk moeilijker sudoku’s niet kloppen. Dit is dan ook meer dan eens het geval in zijn aanpak.

 

Tot slot: mijn poging voor de aanpak van de sudoku van Veit Eiser (zie blz. 125) via opsplitsing van de sudoku.